Question

高中数学函数题 设a∈R，函数f(x)=e^-x(x^2+ax+1)，其中e是自然对数的底数。

(1)讨论函数f(x)在R上的单调性；
(2)当-1<a<0时，求f(x)在[-2,1]上的最小值。

Answer 1

请明确一一题目：是f(x)=e^[-x(x^2+ax+1)]? 还是f(x)=[e^(-x)](x^2+ax+1)?

追问

是f(x)=[e^(-x)](x^2+ax+1)

追答

设a∈R，函数f(x)=[e^(-x)](x²+ax+1)，其中e是自然对数的底数
(1)讨论函数f(x)在R上的单调性；
(2)当-10，对任何x都成立，因此f′(x)的符号取决于([x-(a-1)](x-1)的符号。
①当a-11时f′(x)>0，即在区间(-∞，a-1)∪(1，+∞)内单调增；
a-11，即a>2时，xa-1时f′(x)>0，即在区间(-∞，1)∪(a-1，+∞)内单调增；
1<x<a-1时f′(x)<0，即在区间(1，a-1)内单调减。
③当a-1=1，即a=2时，f′(x)=(x-1)²/e^x≧0，即在其全部定义域(-∞，+∞)内都单调增。
(2)当-1<a<0时，满足a<2的条件，故按上面的结论可知：f(x)在区间(-∞，a-1)∪(1，+∞)内单调增；在区间(a-1，1)内单调减；-2<a-1<-1，故f(x)在[-2，1]的最小值=f(1)=(1+a+1)/e=(a+2)/e.

Answer 2

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