Question

不等式证明：若a>0,b>0,且a+b=1，则a^4+b^4>=1/8

请给出大致的证明过程． （最好用换元法）

Answer 1

证明：
方法1：用二次函数的
性质
。
a^4+b^4＝(a^2+b^2)^2-2a^2b^2
=[(a+b)^2-2ab]^2-2a^2b^2
=(1-2ab)^2-2a^b^2
=1-4ab+2a^2b^2
=2(ab-1)^2-1.
∵ab≤[(a+b)/2]^2=1/4.
(a=b时“＝”成立)
∴当ab＝1/4时,a^4+b^4取最小值2(1/4-1)^2-1=1/8.
综上，a^4+b^4>=1/8.
方法2：用不等式公式。
注意公式：(a^2+b^2)/2≥[(a+b)/2]^2..............①
和
条件
a+b=1,得：
a^2+b^2≥[(a+b)^2]/2=1/2,
(当且仅当a＝b时取“＝”)
再用公式①，得
(a^4+b^4)/2≥[(a^2+b^2)/2]^2,
∴a^4+b^4≥[(a^2+b^2)^2]/2≥[(1/2)^2]/2=1/8.
(当且仅当a＝b时取“＝”).
综上，有：a^4+b^4>=1/8.