Question

设 数列an满足a1=2,a(n+1)-an=3·2^(2n-1) (1)求数列an 的通项公式；（2）令bn=nan，求数列bn的前n项和sn.

Answer 1

a(n)-a(n-1)=3·2^(2n-3)
a(n-1)-a(n-2)=3·2^(2n-5)
...
a(2)-a(1)=3·2^1
a(1)=2
各式累加，有
当n≥2时，a(n)=3·[2^1+2^3+...+2^(2n-3)]+2
=3·2[1-4^n]/(1-4) + 2
=2·4^n
当n=1时，a(n)=2
综上，a(n)=2·4^n .

b(n)=na(n)=2n·4^n
于是b(n)的前n项和为
S(n)=2·4+4·4²+6·4³+...+2n·4^n ...①
4S(n)=2·4²+4·4³+...+2(n-1)·4^n+2n·4^(n+1) ...②
①-②，有
-3S(n)=2·4+2(4²+4³+...+4^n)-2n·4^(n+1)
=8+2·[4²(1-4^n-1)/1-4]-2n·4^(n+1)
=8+32/3·[4^(n-1)-1]-2n·4^(n+1)
=8/3·4^n-8/3-8n·4^n

因此S(n)=(8n/3-8/9)·4^n-8/9.