Question

如图，D是等腰直角△ABC的直角边BC上的一点，AD的垂直平分线EF分别交AC、AD、AB与E、O、F，BC=2.

猜想：当CD=2（√2-1）时，四边形AEDF是何种特殊的平行四边形？证明你的结论

Answer 1

连接ED,FD
∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠CAB=∠B=45°,∠C=90°,AC=BC=2
∵EF⊥AD，AO=DO
∴AE=ED,AF=FD
∴设：AE=x,则ED=AE=x,EC=AC－AE=2－x
在△ECD中，∠C=90°,由勾股定理得
CE²+CD²=ED²
∴(2－x)²+（2√2－2）²=x²
解得x=4－2√2
∴EC=2－x=2－(4－2√2)=2√2－2=CD
∴△ECD为等腰直角三角形
∴∠CED=∠CDE=45°
∵AE=ED
∴∠EAO=∠EDO
∵∠CAD+∠CDA=90°=∠EAO+∠EDO+∠CDE=2∠EAO+45°
∴∠EAO=22.5°
∴∠OAF=∠CAB－∠EAO=45°－22.5°=22.5°=∠EAO
在△AOE与△AOF中
∠EAO=∠FAO
AO=AO
∠AOE=∠AOF=90°
∴△AOE≌△AOF(ASA)
∴AE=AF
∴AE=DE=AF=DF
∴四边形AEDF为菱形

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Answer 2

连接ED,FD, 因为EF垂直平分AD，所以AE=ED,AF=FD
当CD=2（√2-1）时，DB=4-2√2
CD/DB=2（√2-1）/(4-2√2)=1/√2
又因为△ABC为等腰直角三角形，所以AC/AB=1/√2
所以CD/DB=AC/AB，∠CAD=∠BAD，三角形EAF为等腰三角形，AE=AF
AE=ED=AF=FD
所以四边形AEDF为菱形

Answer 3

解：①在等腰Rt△ABC中，有AC=BC=2，
在Rt△ACD中，AD= AC2+CD2= 4+2= 6，
∵EF是AD的中垂线，
∴∠AOE=∠C=90°，AO= 12AD= 62，
∵∠AOE=∠C=90°，∠CAD=∠CAD（公共角），
∴△AOE∽△ACD，
∴AO：AC=AE：AD，
∴AE= AO•ADAC= 32．

②过D作DG⊥AB于G，BD=BC-CD=2-2（ 2-1）=2-2 2+2=4-2 2，
∵∠DGB=90°，∠B=45°，
∴△DGB是等腰直角三角形，
由DG=GB=BDsin45°=（4-2 2）× 22=2（ 2-1）=CD，
∴Rt△ADC≌Rt△AGD，
∴∠CAD=∠BAD，
∵EF是AD的中垂线，AF=FD，AE=ED，
∴∠CAD=∠BAD=∠ADE=∠ADF，
∴△AED≌△AFD，
∴AF=FD=AE=ED，
∴四边形AEDF是菱形．