Question

三角函数最大值怎么求?急!

函数y=2sinx+cosx的最大值怎么求?
首先肯定不是sinx最大值为1,cosx最大值为1就简单加为3.
例题里是y=sinx+cosx这个最大值是靠配方,配上一个cos45和sin45实现的y=根号2倍的(sinx·cos45+sin45cosx)=根号2sin(x+45)这样答案就是根号2了。
但是这到题里是2sinx，我试过很多配方方法都配不出来。该怎么做呢？急！！在线等！！
看了你的资料明白了,但是例题1答案好象不对吧?应该选C吧?f(x)=2sin(x+ ).sin()最大为1,最小为-1.那么算上前面的系数2,最大值为2,最小值为-2,对吧?

Answer 1

y=√5sin(x+φ)
φ=tan b/a=tan 1/2
y=y=√5sin(x+arc tan 1/2)
最大值为√5
规律：
y=asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+φ)
φ=tan b/a
这是高中的知识呀，高一的，我刚学完，这是结论，老师让我们记住
原文在http://www.zx98.com/Article/UploadFiles/200412/20041213191036584.doc
三角函数最值问题类型归纳
三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用,近几年的高考题中经常出现.其出现的形式,或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题;或者是隐含在解答题中,作为解决解答题所用的知识点之一;或者在解决某一问题时,应用三角函数有界性会使问题更易于解决(比如参数方程).题目给出的三角关系式往往比较复杂,进行化简后,再进行归纳,主要有以下几种类型.掌握这几种类型后,几乎所有的三角函数最值问题都可以解决.
1.y=asinx+bcosx型的函数
特点是含有正余弦函数,并且是一次式.解决此类问题的指导思想是把正,余弦函数转化为只有一种三角函数.应用课本中现成的公式即可:y=sin(x+φ),其中tanφ=.
例1.当-≤x≤时,函数f(x)=sinx+cosx的( D )
A,最大值是1,最小值是-1 B,最大值是1,最小值是-
C,最大值是2,最小值是-2 D,最大值是2,最小值是-1
分析:解析式可化为f(x)=2sin(x+),再根据x的范围来解即可.
2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数
特点是含有sinx, cosx的二次式,处理方式是降幂,再化为型1的形式来解.
例2.求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并求出y取最小值时的x的集合.
解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x
=1+sin2x+1+cos2x
=2+sin(2x+)
当sin(2x+)=-1时,y取最小值2-,此时x的集合{x|x=kπ-π, k∈Z}.
3.y=asin2x+bcosx+c型的函数
特点是含有sinx, cosx,并且其中一个是二次,处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数,再应用换元法,转化成二次函数来求解.
例3.求函数y=cos2x-2asinx-a(a为常数)的最大值M.
解:y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2+1-a,
令sinx=t,则y=-(t+a)2+a2+1-a, (-1≤t≤1)
(1) 若-a1时, 在t=-1时,取最大值M=a.
(2) 若-1≤-a≤1,即-1≤a≤1时,在t=-a时,取最大值M=a2+1-a.
(3) 若-a>1,即a0,
y2=4cos4sin2
=2·cos2·cos2·2sin2

所以0 注:本题的角和函数很难统一,并且还会出现次数太高的问题.
6.含有sinx与cosx的和与积型的函数式.
其特点是含有或经过化简整理后出现sinx+cosx与sinxcosx的式子,处理方式是应用
(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx 进行转化,变成二次函数的问题.
例6.求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值.
解:令sinx+cosx=t (-≤t≤),则1+2sinxcosx=t2,所以2sinxcosx=t2-1,
所以y=t2-1+t=(t+)2-,
根据二次函数的图象,解出y的最大值是1+.
相信通过这一归纳整理,大家对有关三角函数最值的问题就不会陌生了.并且好多其它的求最值的问题可以通过代换转化成三角求最值的问题.希望同学们在做有关的问题时结合上面的知识.
http://www.maths168.com

Answer 2

y=asinα+bcosα=√(a^2+b^2)sin(α+β) tanβ=b/a
这个是辅助角公式，推导很简单：

提出 √(a^2+b^2)
得y=√(a^2+b^2){[a/√(a^2+b^2)]sinα+[b/√(a^2+b^2)]cosα}
令cosM=a/√(a^2+b^2) sinM=b/√(a^2+b^2)
因为cosM^2+sinM^2=1 所以存在这样的cosM、sinM
所以 y=√(a^2+b^2) （cosMsinα+sinMcosα）
=√（a^2+b^2)sin（α+M）

此题即为 y＝根号5sin(x+m) tanm=1/2

所以值域为[-根号5,根号5]

Answer 3

有方法！
y=asinx+bcosx 右边提出根号下a^2+b^2

这道题就是 2sinx+cosx =根号5*sin（……）
最大值是根号5