Question

什么是函数的连续性?如何证明函数的连续性?

Answer 1

若函数f(x)在定义域内一点x0满足x趋于x0时的f(x)的极限＝f(x0)，则称f（x）在该点连续。至于证明函数的连续性，就是使用这个定义证明。其实，真正用到连续性时，都是由那几个基本函数的连续性推导出来的，基本上不需要什么证明。

Answer 2

函数的连续性
定义1 函数f 在点x 0的某邻域内有定义，若函数f 在点x 0有极限且此极限等于该点的函数值，即lim f (x ) =f (x 0) ，则称f 在点x 0连续 x →x 0
f 在点x 0连续必须满足三个条件：
（1）在点x 0的一个邻域内有定义
（2）lim f (x ) 存在 x →x 0
（3）上述极限值等于函数值f (x 0)
若上述条件有一个不满足，则点x 0就是函数f 的间断点。
1、如何证明一个分段函数是连续函数
首先看各分段函数的函数式是不是连续（这就是一般的初等函数是否连续的做法）然后看分段函数的分段点，左右极限是否相等并等于函数值。

分段点处的左极限用左边的函数式做，
分段点处的右极限用右边的函数式做。
2、多元函数在某点处的连续性如何证明
没有专门的一个公式或定理,但是我可以总结几个方法给你看看.
如果一个多元函数是连续的,那么一般的做法是这样：通过夹逼法,h(x)<f(x)<g(x),而h(x)与 g(x)的极限又是相等的,然后通过对比f(x)在某一点的函数值,最后得出结论是否相等.而一般的,这种题目往往是探求在(0,0)这一点的连续性,而又往往左边h(x)是0,右边g(x)也是趋于零的.而g(x)趋于零通常又是运用基本不等式对它进行放缩最后求得极限.
如果一个多元函数是不连续的,这种最开心了,为什么这么说呢,一般的你可以先设定变量间的关系,比如y = kx,y = kx^2等等,最后发现极限与k相关,k取不同的值极限也取不同的值,所以极限是不存在的.