Question

设O是三角形ABC内部一点，且向量OA+向量OC=-2倍的向量OB，则三角形AOB与三角形AOC多面积之比为

答案是1比2 要详细，过程最好作图说明！答的好有追分！！ ↖(^ω^)↗
我并不知道O点在哪。

Answer 1

这个图就由楼主自己来作吧，过程也比较简单！

解：作线段AC中点D，连结OD
则由平面向量中点公式或定比分点公式易得：
向量OD=1/2 *(向量OA+向量OC)
即向量OA+向量OC=2向量OD
又向量OA+向量OC=-2倍的向量OB
所以2向量OD＝-2向量OB
即向量OD＝-向量OB
这就是说向量OD与向量OB方向相反，长度相等
因为向量OB与向量OD有公共点O，所以O.B.D三点共线
由|OB|=|OD|可知点O是线段BD的中点
则易得S△AOB=S△AOD （△AOB与△AOD底边OB.OD等长，且同高）
同理S△AOD=S△COD
则S△AOC=S△AOD+S△COD＝2S△AOD＝2S△AOB
即三角形AOB与三角形AOC多面积之比为1：2

追问

问题是我并不知道O点在哪，是随便画一个吗？

追答

呵呵，当然一开始看到题目的时候不知道点O的具体位置，但通过分析题意
可以确定点O是在中线BD上，而解题的思路就是从向量OA+向量OC=-2倍的向量OB这里展开的

追问

请问：点O的位置是做之前就知道的，还是先假设再证明的啊？

追答

哦，点O的位置随着解题过程的展开自然而然可以确定的
过程中确定向量OD＝-向量OB，那么O.B.D三点共线，这就可以说明点O的位置！

追问

问题是不是要先作图，才能解的吗？如果事先不知点O的位置，那不就解不了了吗？

追答

向量OA+向量OC=-2倍的向量OB
上面这个条件才是关键，作图的目的是辅助我们解题啊，呵呵，当然能够数形结合就最好了。

Answer 2

因为向量OA+向量OC=-2倍的向量OB，作向量OC与OA的和向量OD则B，O，D三点共线，且|OD|=2|OB|，设OD,AC交于点E，则E是AC的中点，所以三角形COE与三角形ADE面积相等，所以三角形AOC的面积=三角形AOD的面积。对于三角形AOB与三角形AOD，他们是底在一条直线上，高相等，所以他们的面积的比等于相应底边的比=|OB|/|OD|=1/2.

Answer 3

过A作ADIIOC CDIIOC
则AOCD是平行四边形
向量OA+向量OC=向量OD
S△AOC=S△AOD=(1/2)四边形AOCD面积
已知向量OA+向量OC=-2倍的向量OB
所以-2倍的向量OB=向量OD，且AOD在同一直线上
则2IOBI=IODI
所以S△AOD=2S△AOB
即S△AOB：S△AOC=1：2
希望能帮到你O(∩_∩)O