Question

已知点P（2，2），圆C：x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

Answer 1

圆c：x2+y2-8y=0即
x2+（y-4）2=16，表示以c（0，4）为圆心、半径等于4的圆．
由题意可得，m，p点既在以o为圆心|op|为半径的圆：x2+y2=4上．
由于m为弦ab的中点，故有cm⊥ab，
故点m、p又在以cp为直径的圆（x-1）2+（y-2）2=5上，
所以mp是两圆的公共弦，其所在直线方程为x+2y-2=0，
圆心c（0，4）到直线x+2y-2=0的距离为cm=
6
5
5
．
由于am=
42?cm2
=
44
5
，∴ab=2am=2
44
5
，
所以△abc的面积为
1
2
ab?cm=
12
11
5
．

Answer 2

（1）圆C的方程可化为x2+（y-4）2=16，所以圆心为C（0，4），半径为4．
当AB⊥MC时弦AB最短，此时AB=2
R2?CP2
=4
2
，l的方程x-2y+2=0；
（2）设M（x，y），则
CM
=（x，y-4），
MP
=（2-x，2-y），
由题设知
CM
?
MP
=0，
故x（2-x）+（y-4）（2-y）=0，即（x-1）2+（y-3）2=2．
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是（x-1）2+（y-3）2=2．