Question

设函数f(x)=x^2-alnx与g(x)=(1/a)x-√x的图像分别交直线x=1于点A、B,且曲线y=f(x)在点A处的切线与曲线

设函数f(x)=x^2-alnx与g(x)=(1/a)x-√x的图像分别交直线x=1于点A、B,且曲线y=f(x)在点A处的切线与曲线y=g(x)在点B处的切线平行。
1. 求函数f(x),g(x)的表达式
2. 当a＞1时，求函数h(x)=f(x)-g(x)的最小值。
3. 当a=1/2时，不等式f(x)≥m*g(x)在x∈[1/4，1/2]上恒成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

1、f‘(x)=2x-a/x，g’(x)=1/a-1/(2√x)，切线平行f’(x)=g‘(x)，则：2-a=1/a-1/2，得：a=1/2或a=2，
f(x)=x^2-(lnx)/2或f(x)=x²-2lnx，g(x)=2x-√x或g(x)=x/2-√x；
2、当2x-a/x＞0，x²＞a/2时，f(x)=x^2-alnx为增函数，当1/a-1/(2√x)＞0，x＞a²/4时，g(x)=(1/a)x-√x为增函数，则a/2=(a²/4)²，a=2时，h‘(x)=f’(x)-g‘(x)=0，此时函数h(x)=f(x)-g(x)有最小值=3/2；
3、当a=1/2时，f’(x)=2x-1/2x，函数f(x)=x^2-(lnx)/2在x∈[1/4，1/2]是减函数，f(1/4)=1/16+ln2,f(1/2)=1/4+(ln2)/2；g’(x)=2-1/(2√x)，函数g(x)=2x-√x在x∈[1/4，1/2]是增函数，f(1/4)=0,f(1/2)=1-√2/2；m≤[1/4+(ln2)/2]/(1-√2/2)=1/2+√2/4+ln2+ln2*√2/2,实数m的取值范围：(-∞,1/2+√2/4+ln2+ln2*√2/2]。

追问

第一问中的1/2好像要舍去，带入计算的话A、B就是同一点了，与题意不符。

追答

是的代入计算为一点，是两曲线的交点，应该舍去。

Answer 2

太难了 没人懂的