Question

高等数学 求长宽高的倒数之和为常数a（a大于0），而体积最大的长方体的体积 需详细步骤

Answer 1

倒数还是导数

设长宽高分别为x、y、z
则1/x+1/y+1/z=a

因为1/x+1/y+1/z≥3×（3次根号（1/xyz)
所以a≥3×（3次根号（1/xyz)
两边同时立方得：a^3≥27×（1/xyz)
所以xyz≤27/a^3

即最大的长方体的体积=27/a^3

祝你开心！

Answer 2

本题长方体的体积只有最小，没有最大体积
本题利用x,y,z>0,x+y+z≥³√xyz
设长为x,宽为y,高为z,则
1/x+1/y+1/z=a
又1/x+1/y+1/z≥3(³√1/xyz)
即3(³√1/xyz)≤a,
1/xyz≤27a³
xyz≥1/27a³
即长方体体积最小值为1/27a³

Answer 3

设长为x，宽为y，高为z，根据题干有1/x+1/y+1/z=a，V=xyz
此题不存在最大值，只存在最小值。因为根据均值不等式，(xyz)^(1/3)≥3/(1/x+1/y+1/z)=3/a
故V=xyz≥(3/a)^3=27/a^3，当且仅当x=y=z=3/a时取“=”，显然放缩的方向错误了。
最大值是不存在的，我只要令x→+∞，y→+∞，z→(1/a)-即可，便满足1/x+1/y+1/z=a。
此时显然，V=xyz→+∞，所以V不会存在最大值。

Answer 4

既然你写高等数学，我就给你写用高等数学解题的方法
设长宽高分别为x、y、z
有1/x+1/y+1/z=a，所以z= 1/（a-1/x-1/y）
所以要求的体积V=xyz=xy/（a-1/x-1/y）
要求二元函数V（x,y）=xy/（a-1/x-1/y）在0<x<无穷大， 0<y<无穷大 区域内 的极值
所以极值在 V对x求偏导=0 以及V对y求偏导=0 处取得
V对x求偏导=[xy^2/(axy-x-y)^2]*(axy-x-2y)
V对y求偏导=[x^2y/(axy-x-y)^2]*(axy-2x-y)
以上两式的左边中括号内都不可能为0
所以 axy-x-2y=0
且axy-2x-y=0
方程组解得 x=3/a y=3/a
所以在 x=3/a y=3/a时 V（x，y）有极值
所以V=（3/a，3/a）=xy/（a-1/x-1/y）=27/a^3

值得注意的是 这个值是极小值，函数在0<x<无穷大， 0<y<无穷大 区域内 无极大值
函数无极大值很好验证 不妨设x=na，y=na
V（x,y）=xy/（a-1/x-1/y）>xy/a=n^2*a 当x为无穷大时，n为无穷大，V也为无穷大