Question

设f（x）=e^x（ax^2+x+1），且曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行．

是否存在实数m,使得对任意α，β，|f(cosα)-f(sinβ)|<m恒成立，如果存在，求出m的范围。

Answer 1

先干两件事情：
1.x=1 有极值，f'(1)=0,解得a=-1
2.cosα、sinβ 取值范围相同[-1,1]，对于任意α，β，|cosα-sinβ|最大值为2，也就是说此时范围最大，则cosα、sinβ此时任意取1、-1
综上，此题就是问：|f(1)-f(-1)|<m 这么一个问题。

f(x)=e^x(-x^2+x+1)
f(1)=e,f(-1)=-1/e
f(1)-f(-1)=e+1/e
所以m>e+1/e
所以：存在实数m,使得对任意α，β，|f(cosα)-f(sinβ)|<m,且m>e+1/e

呵呵～