Question

高一数学题，求教

1.在锐角三角形ABC中，求证tanA·tanB·tanC>1
2.在三角形ABC中,若A+B=120度，求证(a/b+c)+(b/a+c)=1
3.若a>0,b>0,判断√a+√b/√2与√a+b的大小关系

Answer 1

1、首先证明这样一个结论
:三角形ABC tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC
证明如下
tanA=tan(∏-B-C)=-tan(B+C)=
-(tanB+tanC)/(1-tanBtanC)
=（tanB+tanC)/(tanBtanC-1)
所以 tanA*(tanBtanC-1)=tanB+tanC
tanA*tanB*tanC - tanA=tanB+tanC
所以tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC

要证明 tanAtanBtanC>1 只要证明 tanA+tanB+tanC>1 即可
因为ABC是锐角三角形，所以A,B,C都大于0，小于90度，
所以tanA>0,tanB>0,tanC>0
又因为，三角形中至少有一个角大于或等于60度（反证法，否则内角和小于180度），不妨设是角A,
所以tanA>根号3,又tanB>0,tanC>0
所以tanA+tanB+tanC> 根号3 >1
所以tanAtanBtanC>1.

2、A+B=120°
则C=60°
由余弦定理
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
ab=a^2+b^2-c^2
a^2+b^2=c^2+ab

a/(b+c)+b/(a+c)
=[a(a+c)+b(b+c)]/[(b+c)(a+c)]
=(a^2+b^2+ac+bc)/(ab+bc+ac+c^2)
=(c^2+ab+ac+bc)/(ab+bc+ac+c^2)
=1

3、[√a+b]^2=a+b
2√ab≤a+b
[√a+√b/√2]^2=[a+b+2√ab]/2≤[(a+b)+(a+b)]/2=a+b
∴√a+√b/√2≤√a+b