Question

如图,已知△ABC中,AB>AC,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E。求证:AB+CF>AC+BE

Answer 1

证明：
∵CF⊥AB，BE⊥AC根据勾股定理
AB²=BE²+AE²
AC²=CF²+AF²
＝＞CF²=AC²-AF²
∴AB²+CF²=AC²+BE²+（AE²-AF²）
在AB上截取AG=AC，作GH⊥AC于H
∵∠CAF=∠GAH，∠CFA=∠GHA=90º，AC=AH
∴⊿ACF≌⊿AGH（AAS）
∴AF=AH
∵AE＞AH
，∴AE＞AF【或你用AE=ABcos∠A
,AF
=ACcos∠A,∵AB＞AC,∴AE＞AF】
∴AE²-AF²＞0
∴AB²+CF²＞AC²+BE²
三角形的面积=½AB×CF=½AC×BE
∴AB×CF=AC×BE
∴AB²+CF²+2AB×CF＞AC²+BE²+2AC×BE
（AB+CF）²＞（AC+BE）²
∴AB+CF＞AC+BE