Question

证明:若向量OA OB OC的终点A B C共线，则存在实数r p，且r+p=1，使得向量OC=r向

量OA+p向量OB，反之，也成立。

Answer 1

设A、B、C三点共线，O是平面内任一点。
因为A、B、C共线，所以存在非零实数k，使
AB=kAC
即 OB-OA=k(OC-OA)
所以 OB=kOC+(1-k)OA
[注：两个系数和 k+1-k=1]

反之，若存在实数x，y 满足 x+y=1，且OA=xOB+yOC
则 OA=xOB+(1-x)OC
OA-OC=x(OB-OC)
所以 CA=xCB
因此，向量CA与CB共线，
又由于 CA、CB有公共点C
所以，A、B、C三点共线