Question

数学帮忙求几个式子的导数

1，a属于R，求f(x)=x^2乘以e^(ax)的导数
2，对y=(x^3-2)/{2(x-1)}求导
3，对f(x)=（x-a)^2(x+b）e^x求导
4，数列an=cos(n派+派/2)，数列an=sin(n派)/2,数列an=(n^2)/(n^2+1)三个数列是否存在极限
5，证明y=[sinx]和y=[x]在x=0处不可导
6，解释下‘y=1—(x-2)^(2/3)在x=2处不可导但连续’为什么，什么意思

Answer 1

1. f(x)=x^2*e^(ax)， f ‘(x)= 2x *e^(ax) + x^2 * a e^(ax) = (2x+ a x^2)* e^(ax)
2. y= (1/2) (x^3-2) / (x-1),
y ‘ = (1/2) [3x^2 (x-1) – (x^3-2) ] / (x-1)^2 = [ x^3 – 1- (3/2) x^2 ] / (x-1)^2
3. f(x)=(x-a)^2 (x+b) e^x
f‘(x) = 2(x-a) (x+b) e^x + (x-a)^2 e^x + (x-a)^2 (x+b) e^x
= e^x [ …… ]
4. an=cos(n派+派/2) = 0 极限是0；
{ an=sin(n派)/2 }= { 1,0，-1,0，…… } 极限不存在；
an=(n^2) /(n^2+1) = 1- 1/(n^2+1) ->1, ∵1/(n^2+1)->0
5. | sinx | 在 x=0 的左导数为-1， 右导数为1，∴在x=0处不可导
| x | 同上
6. x->2 时， y=1—(x-2)^(2/3) -> 1, y(2)=1 在x=2处连续
由导数的定义，Limit【 [y(x)-y(2)] / (x-2), x->2】= Limit【-(x-2)^(2/3)/ (x-2), x->2】= ∞
=> 在x=2处不可导.

追问

3，为什么f‘(x) = 2(x-a) (x+b) e^x + (x-a)^2 e^x + (x-a)^2 (x+b) e^x后要加个(x-a)^2 (x+b) e^x
5. | sinx | 在 x=0 的左导数为-1， 右导数为1，∴在x=0处不可导，能不能解释下左导数为什么等于-1，右导数为什么等有=1
6题是在说左右极限不相等吗，为什么不能直接将2代入，这是什么意思

追答

3. 三个函数乘积求导( f * g * h) ' = f ' * g * h + f * g ' * h + f * g * h ' 三项的和。
5. f(x)= | sinx |, f(0)=0
左导数 Limit[ (|sinx| - 0)/(x-0), x->0- ] = Limit[ ( - sinx / x , x->0- ] = -1
右导数 Limit[ (|sinx| - 0)/(x-0), x->0+ ] = Limit[ ( sinx / x , x->0+ ] = 1
6. x -> 2 时， y(x)的极限等于y(2) =1, 所以连续。
按照导数的定义，因为在 x=2， 当Δx->0时， Δy/Δx 的极限不存在，故不可导。