Question

若x1,x2(x1≠x2)是函数f(x)=ax^3+bx^2-a^2x(a>0)的两个极值点

若x1，x2（x1≠x2）是函数f(x)=ax^3+bx^2-a^2x(a>0)的两个极值点
（1）若x1=-1/3，x2=1，求函数f(x)的解析式
（2）若︱x1︱+︱x2︱=2√3，求b的最大值
（3）若-1/3为函数f(x)的一个极值点，设函数g(x)=f′(x)-ax-a/3，当x∈[-1/3，a]时，求︱g(x)︱的最大值

Answer 1

(1)f'(x)=3ax^2+2bx-a^2
因为x1,x2是函数的两个极值点，且x1=-1/3，x2=1
所以x1+x2=-2b/3a=2/3
x1x2=-a/3=-1/3
所以a=1，b=-1
所以f(x)=x^3-x^2-x
(2) x1+x2=-2b/3a
x1x2=-a/3
(x1+x2)^2-2x1x2+2|x1||x2|=12
4b^2/9a^2+2a/3+2a/3=12
整理得b^2=-3a^3+27a^2
令f(x)=-3x^3+27x^2(x>0)
f'(x)=-9x^2+54x
0<x<=6,f(x)是增函数
x>6,f(x)是减函数
所以当x=6时，f(x)有最大值324
所以b最大值根号324，即18
(3)f'(x)=3ax^2+2bx-a^2
因为-1/3是函数的一个极值点，则(1/3)a-(2b)/3-a^2=0,得b=(1/2)a-93/2)a^2
g(x)=3ax^2-3a^2x-a/3
因为g(x)关于x=a/2对称，g(x)最小值是(-3a^2/4)-a/3
当x=-1/3时，g(x)=a^2
当x=a时,g(x)=-a/3
综上所诉，当a^2>(3a^2/4)+a/3,即a>4/3,|g(x)|的最大值为a^2
当a^2<(3a^2/4)+a/3,即0<a<4/3,|g(x)|的最大值为(3a^2/4)+a/3
当a=4/3时，|g(x)|的最大值为16/9
做完这道题很辛苦的呢，望楼主给好评，多悬赏点分数吧，这样我的辛苦才值得啊，谢谢！

Answer 2

做这样一个大题，你都舍不得给点分，我不愿意做。