Question

设方阵A的每列元素之和均为a,则A必有一个特征值为?

Answer 1

必有一个特征值为a.
事实上|A-rE|=0中把其余各行都加到第一行，你会发现第一行每个元素都成了a-r,当r=a时行列式为0，这说明r=a是行列式的一个根，即a是一个特征根。

Answer 2

a必有一个特征值为a
a11
……
a1n
设a=(
……
……
……
),其中a1i+a2i+……+ani=a
an1
……
ann
a11-a
……
a1n
0
0
……
0
a-ae=(
a21
……
a2n
)~(
a21
a22-a
……
an2
)
……
……
……
……
……
……
……
an1
……
ann-a
an1
……
……
ann-a
由1行都是0,可以很容易得到|a-ae|=0,∴a是矩阵a的特征根