Question

由平面x=0,y=0,x=2,y=3,z=0及2x-3y+z=6所围空间区域的体积

Answer 1

求由以下曲面所围成的几何体的体积：x=0
,y=0,z=o,z=6-2x-3y
解一：如图，这是一个直角锥体的体积，V=(1/3)[(1/2)×3×2×6]=6解二：令6-2x-3y=0得平面z=6-2x-3y
与xoy平面的交线AB的方程为y=(1/3)(6-2x)=2-(2/3)x故积分域D：由x=0，y=0及直线y=2-(2/3)x所围成的三角形。∴体积V=[D]∫∫zdxdy=[0，3]∫dx[0，2-2x/3]∫(6-2x-3y)dy=[0，3]∫dx[(6-2x)y-(3/2)y²]︱[0，2-2x/3]=[0，3]∫[(6-2x)(2-2x/3)-(3/2)(2-2x/3)²]dx=[0，3]∫[(2/3)x²-4x+6]dx=[2x³/9-2x²+6x]︱[0，3]=6-18+18=6

Answer 2

2x-3y+z＝0

(1)
3x-2y-6z＝0

(2)
将z看作已知数，将x,y用z的式子表示。
（1）*2-(2)*3，消去y，得到：-5x+20z=0

则x=4z
将x=4z
代入3x-2y-6z＝0，得到：12z-2y-6z=0,则y=3z
即
x=4z,
y=3z
则（x²+y²+z²）/（2x²+y²-z²）
=[(4z)²+（3z）²+z²]/[2(4z)²+(3z)²-z²]
=(16z²+9z²+z²)/(32z²+9z²-z²)
=(26z²)/(40z²)
=26/40
=13/20
希望能帮到你