Question

求函数z=ln（x+y）在抛物线y²=4x上点（1,2）处，沿着抛物线在该点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数

Answer 1

先求斜率，答案如图所示

Answer 2

先求切线的方向向量，曲线方程写为：f(x,y)=y²-x=0
fx=-1，fy=2y，则切线方向向量为：(-1,2y)，将(1,1)代入得：(-1,2)，单位化(-1/√5，2/√5)
即cosα=-1/√5，cosβ=2/√5
下面求两个偏导数
dz/dx=2x/(x²+2y)，dz/dy=2/(x²+2y)，将(1,1)代入得：dz/dx=2/3，dz/dy=2/3
则方向导数为：dz/dx*cosα+dz/dy*cosβ=(2/3)*(-1/√5)+(2/3)*(2/旦弗测煌爻号诧铜超扩√5)=2/(3√5)

Answer 3

偏z/偏x=1/（x+y）
偏z/偏y=1/（x+y）
在点（1,2）处
偏z/偏x=偏z/偏y=1/3
对y²=4x等号两边求导：
2yy'=4
y'=2/y
当y=2时y'=1
则该点切线与x轴正向夹角为θ=π/4
因此，方向导数=(偏z/偏x)·cosθ
+
(
(偏z/偏y)·sinθ
=
√2
/3