Question

化简|2x+1|-|x+1| 解方程|2x+1|=|5x+7| 求|x-3|+|x-5|+|x-7|的最小值

Answer 1

化简|2x+1|-|x+1|：
分别当2x+1=0,x+1=0时，解得x=-1/2,x=-1
所以，-1,-1/2就是式子的两个零点（即零点分段法，分别使绝对值里面的式子为0）
当x<-1时，|2x+1|-|x+1|=-(2x+1)+(x+1)=-x
当-1<=x<-1/2时，|2x+1|-|x+1|=-(2x+1)-(x+1)=-3x-2
当x>=-1/2时，|2x+1|-|x+1|=2x+1-(x+1)=x
解方程|2x+1|=|5x+7|：
2x+1等于5x+7，或2x+1与5x+7互为相反数
（1）2x+1=5x+7，解得x=-2
（2）2x+1+5x+7=0，解得x=-8/7
综上，x=-2或x=-8/7
求|x-3|+|x-5|+|x-7|的最小值：
用几何方法最简单，|x-3|,|x-5|,|x-7|分别表示点x离3,5,7的距离
这个距离只有在x=5时最小（你不妨把x=5往左或者往右移动，这个距离和总是要增加的）
当x=5时，|x-3|+|x-5|+|x-7|=|2|+|0|+|-2|=4
或者，用麻烦一点的代数方法：零点分段法
三个零点分别是3,5,7（求法不再解释）
当x<=3时，|x-3|+|x-5|+|x-7|=3-x+5-x+7-x=15-3x
∴x越大时，式子的值就越小。取x=3
当3<=x<=5时，|x-3|+|x-5|+|x-7|=x-3+5-x+7-x=9-x
∴x越大时，式子的值就越小。取x=5
当5<=x<=7时，|x-3|+|x-5|+|x-7|=x-3+x-5+7-x=x-1
∴x越小时，式子的值就越小。取x=5
当x>=7时，|x-3|+|x-5|+|x-7|=x-3+x-5+x-7=3x-15
∴x越小时，式子的值就越小。取x=7
把x=3,5,7分别代入式子里算一算，就可以知道式子到底在什么时候取到最小值了。
（注意：这里的分段是特殊的“零点两头讨论”的方法，上面提到x<=3，下面又提到3<=x<=...。这种方法不要乱用，一般必须写x<=3;3<x<=...的形式，3不能两次都取到等号）