Question

如图，RT△ABC中，∠A＝90°，D是BC的中点，点E在AB上，点F在AC上。

ED⊥FD，求证：EF²＝BE²＋CF²

Answer 1

证明:延长ED到M,使DM=DE,连接FM,CM.
又DF垂直DE,则EF=FM.(线段中垂线的性质)
又BD=CD,∠BDE=∠CDM,则:⊿BDE≌ΔCDM(SAS),得CM=BE;∠DCM=∠B.
角A=90度,则:∠B+∠ACD=90度=∠DCM+∠ACD,即∠FCM=90度.
所以,FM^2=CM^2+CF^2=BE^2+CF^2.

Answer 2

过C点做平行线交ED延长线于G
则有CG=BE (D是BC中点)
且FG=EF (DF是EG垂直平分线)
三角形FCG中 <FCG=90 (<BAC+<FCG=180)
那么有FC^2+CG^2=FG^2
即EF^2=BE^2+CF^2