Question

用分部积分法解∫ln(1+√x)dx

设谁为u设谁为dv,则du、v是什么？然后要过程。

Answer 1

先用换元法， 再用分部法 ∫ u * v ' dx = ∫ u dv = u * v - ∫ v * u ' dx 这样是不容易出错的。
分部积分，
遇到 ∫ x^n sinx dx, ∫ x^n cosx dx , ∫ x^n e^x dx 等， 设 u = x^n , v ' = sinx, cosx, e^x
遇到 ∫ x^n arctanx dx， ∫ x^n lnx dx ，设 u = arctanx, e^x, v ‘ = x^n ,
遇到 ∫ e^x sinx dx, ∫ e^x cosx dx , 要用两次分部积分，……

Answer 2

∫ln(1+√x)dx
＝xln(1+√x)-∫x/(1+√x)*1/(2√x)dx
=xln(1+√x)-1/2∫√x/(1+√x)dx
=xln(1+√x)-1/2∫(1+√x-1)/(1+√x)dx
=xln(1+√x)-1/2x+1/2∫dx/(1+√x)
√x=t,x=t^2,dx=2tdt
1/2∫dx/(1+√x)
=1/2∫2tdt/(1+t)
=∫tdt/(1+t)
=∫(1-1/(1+t))dt
=t-ln(1+t)+C
=√x-ln(1+√x)+C
∫ln(1+√x)dx=xln(1+√x)-1/2x+√x-ln(1+√x)+C

追问

看不明白，能来点文字说明吗？谢啦，然后这是不是换元法和分部法一起用的，分部法中的u=?、dv=?，不说明我是看不懂啦！

追答

对

追问

分部积分法是
设u=∫ln(1+√x),dv=dx,udv=∫ln(1+√x)dx
那么du是怎么求出来的呢？
然后∫x/(1+√x)*1/(2√x)dx怎么就等于1/2∫√x/(1+√x)dx了呢？
（PS：我知道∫kf(x)dx=k∫f(x)dx的。）

追答

晕
这个题目中u=x,v=ln(1+√x)
∫ln(1+√x)dx
=∫vdu
=uv-∫udv

Answer 3

∫udv=uv-∫vdu
令√x=t x=t²
dx=dt²
∫ln(1+√x)dx
=∫ln(1+t)dt² (这里令u=ln(1+t)，v=t²)
=t²ln(1+t)-∫t²dln(1+t)
=t²ln(1+t)-∫t²/(1+t)dt
=t²ln(1+t)-∫[(t-1+1/(t+1)]dt
=t²ln(1+t)-[t²/2-t+ln(t+1)]+C
=(t²-1)ln(1+t)-t²/2+t+C
=(x-1)ln(1+√X)-x/2+√x+C