Question

。已知函数f(x)=㏒3 （mx^2+8x+n）/(x^2+1) 的定义域为（负无穷到正无穷），值域为[0，2]，求m,n 的值

求解析

Answer 1

解：f(x)=log3[(mx^2+8x+n)/(x^2+1)]

             =log3[m+(8x+n-m)/(x^2+1)]

         

        f(X)的定义域为（-∞，+∞）

    1）当x趋近于+∞或者-∞时，函数g(x)=(8x+n-m)/(x^2+1)有最小值0,因此，当g(x)=0时，f(x)有最小值,此时m=1，f(x)=0

         2)令g'(x)=0，n-1=b,解得：x=[-b±√(b^2+64)]/8时，g(x)取得最大值。

      取x=[-b+√(b^2+64)]/8，带入log3(1+g(x))=2,因此，g(x)=8，解得b=6

         故：n=7.

g(x)=8x/(x^2+1)的图像如下：

Answer 2

令t=(mx^2+8x+n)/(x^2+1)
函数f(x) 值域为[0，2]，则1=<t=<9
（m-t)x^2+8x+n-t=0 (1)
由于函数f(x)=log3[(mx^2+8x+n)/(x^2+1)]的定义域为R
所以(1)一定有实数解,从而
判别式:64-4(m-t)(n-t)>=0 ,即:t^2-(m+n)t+mn-16<=0 (2)
因为1=<t=<9，
一元二次不等式的解集端点必是相应方程的根，
所以m+n=1+9，mn-16=1*9，
从而解的:m=n=5。