Question

二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a＜0）的图象经过点（-1，1...

二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a＜0）的图象经过点（-1，1），（4，-4）．下列结论： （1）ac＜0； （2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小； （3）x=4是方程ax2+（b+1）x+c=0的一个根； （4）当-1＜x＜4时，ax2+（b+1）x+c＞0． 其中正确的个数为（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个

Answer 1

解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a＜0）的图象经过点（-1，1），（4，-4），
∴a-b+c=1①，
16a+4b+c=-4②，
②-①，得15a+5b=-5，即3a+b=-1，
∴b=-1-3a，
∴c=1-a+b=1-a-1-3a=-4a．
（1）∵c=-4a，
∴ac=a-4a=-14＜0，故结论正确；
（2）∵y=ax2+bx+c=ax2+（-1-3a）x-4a，
∴对称轴为直线x=1+3a2a=32+12a，
∵a＜0，
∴x=32+12a＜32，
∴当x＞32+12a时，y的值随x值的增大而减小，故结论错误；
（3）∵16a+4b+c=-4，
∴16a+4（b+1）+c=0，
∴x=4是方程ax2+（b+1）x+c=0的一个根，故结论正确；
（4）∵a-b+c=1，
∴a-（b+1）+c=0，
∴x=-1是方程ax2+（b+1）x+c=0的一个根，
由（3）知x=4是方程ax2+（b+1）x+c=0的一个根，
∴（-1，0），（4，0）是二次函数y=ax2+（b+1）x+c与x轴的两个交点，
又∵a＜0，
∴当-1＜x＜4时，y＞0，即ax2+（b+1）x+c＞0，故结论正确．
所以正确的结论是（1）（3）（4）．
故选C．