Question

已知两点F1（-2，0），F2（2，0），曲线C上的动点P满足|PF1|+|PF...

已知两点F1（-2，0），F2（2，0），曲线C上的动点P满足|PF1|+|PF2|=2|F1F2|． （1）求曲线C的方程； （2）曲线C上是否存在点M，使得MF1•MF2=3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）因为|F1F2|=4，|MF1|+|MF2|=2|F1F2|=42＞|F1F2|=4，
所以曲线C是以F1（-2，0），F2（2，0）为焦点，长轴长为42的椭圆，
所以a=22，c=2，所以b2=4，
曲线C的方程为
x28+y24=1．
（2）假设椭圆C存在点M，使得MF1•MF2=3．
证明：设M（x，y），则MF1=(-2-x，-y)，MF2=(2-x，-y)，
所以MF1•MF2=x2+y2-4．
因为x28+y24=1，所以x2=8-2y2，
所以MF1•MF2=4-y2，令4-y2=3，解得：y=±1，所以x=±6．
所以满足题意的点共有四个：M1(6，1)，M2(6，-1)，M3(-6，1)，M4(-6，-1)．