Question

已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（根号7,0）,直线y=x-1与其相交于M、N...

已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（根号7,0）,直线y=x-1与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为-2/3,则此双曲线的方程是

Answer 1

已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(√7,0),直线y=x-1与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为-2/3,则此双曲线的方程是
c=√7,焦点在x轴上,a²+b²=c²,b²=c²-a²=7-a²；因此可设双曲线方程为x²/a²-y²/(7-a²)=1；
将直线方程y=x-1代入双曲线方程得：(7-a²)x²-a²(x-1)²-a²(7-a²)=0；
展开得(7-2a²)x²+2a²x-8a²+a⁴=0
设M(x₁,y₁)；N(x₂,y₂)；则x₁+x₂=-2a²/(7-2a²)=2a²/(2a²-7)；
已知(x₁+x₂)/2=a²/(2a²-7)=-2/3,故得3a²=-4a²+14；7a²=14；于是得a²=2；b²=7-a²=5；
故双曲线方程为x²/2-y²/5=1.