Question

一道高数题追加50分求解在线等

图中标出来的两部分对吗，它那么求导对吗，上下限中有x，如果想要求导，那么被积函数不是就不能带有x了吗，这里为什么可以，这么做感觉不符合变上限积分求导的原则吧 ，变上限积分求导不是被积函数中不能出现和变上限相同的变量吗

Answer 1

积分上限的 x 和 被积函数的 x 是无关的
被积函数 y(x) 中的 x 是积分表达式中的积分变量，这是一个假变量，意思是变量本身和表达形式无关，可以随意替换
如此，可以把 y(x) 的 x 换个形式，比如变成 y(t) dt，跟积分上限的 x 没有关系，所以微分不用考虑对积分上限的 x 求导的问题

追问

为什么y里的x可以换成t

追答

积分变量本身只是一个形式

比如∫ xdx，换成 ∫ tdt 还是一样的积分

对于定积分 ∫ (a, b) f(t)dt = F(b) - F(a)，这里的变量 a, b 和 t 是无关的。代入本题目，t = x，b = x 这两个 x 也是无关的

追问

这么说的话，你看这道题

为什么要换元把被积中的X换去啊

追答

这道题把t/x换元u方便计算啊，绝对值里面来个1-t/x想怎么积出来。不换元的话，一直把 t/x 当做一个整体算呗。

把t/x换成u也不是消掉x的意思，是令t=ux，没有换走

追问

你看网上这个说法对吗

追答

对的，被积函数里面含有积分上下限变量，实际上导致被积函数表达式随x的变化而变化。等于被积函数变成了f(x,t)二元函数

追问

我这个提问就是根据这个提问来的

既然这个回答是对的，那我发的这个问题为什么还能求导，不矛盾吗

追答

∫ y(x)dx，表示 x 是积分变量；
∫ y(x, t)dt，表示 t 是积分变量，而 x 是外部变量；
积分上下限里面的 x，相对于被积函数来说就是外部变量，所以 y(x, t) 的 x 和上限 x 是同一个变量，而 y(x) 中的 x 是积分变量，和上限 x 不是同一个变量

y(x)dx 的 x 可以任意替换，y(a)da，y(t)dt 都行；
y(x, t)dt 中的 t 也是，y(x, z)dz，y(x, f)df 都对；
但是把 y(x, t) 里面的 x 换掉就不行了，要换的话就必须把外面所有 x 换元

题外话：这个用代码里面的局部变量作用域类比就很清晰了