Question

已知函数f（x）=m•2x+t的图象经过点A（1，1），B（2，3），及C（n，...

已知函数f（x）=m•2x+t的图象经过点A（1，1），B（2，3），及C（n，Sn），Sn为数列{an}的前n项的和，n∈N* （1）求Sn及an （2）设bn=log2an-1，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：1T4+1T5+…+1Tn＜119(n≥4，n∈N*)．

Answer 1

解：（1）由2m+t=1得t=-1
4m+t=3m=1（2分）
所以f（x）=2x-1则Sn=2n-1n∈N*（4分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1
当n=1时，a1=S1=1满足上式，所以an=2n-1（n∈N*）（6分）
（2）证明：因为bn=log2an-1=n-2
所以Tn=
(n-2-1)n
2
=
n(n-3)
2
（8分）
所以，当n≥4时，
1
Tn
=
2
n(n-3)
=
2
3
(
1
n-3
-
1
n
)（10分）
所以
1
T4
+
1
T5
++
1
Tn
=
2
3
(1-
1
4
)+
2
3
(
1
2
-
1
5
)+
2
3
(
1
3
-
1
6
)+
+
2
3
(
1
n-3
-
1
n
)=
2
3
(1+
1
2
+
1
3
-
1
n-2
-
1
n-1
-
1
n
)＜
11
9
（13分）