Question

设随机变量X的概率密度为：（公式见图片）（1）求θ的值；（2）求X的分布函数；（3）求X的数学期望与方

设随机变量X的概率密度为： ，已知P(X>1)=7/8。（1）求θ的值；（2）求X的分布函数；（3）求X的数学期望与方差。

Answer 1

f(x)=3x³/θ³, 0<x<θ
(1)
∫{-∞,+∞} f(x)dx = (3/θ³)∫{0,θ} x³dx
= 3θ/4
=1
解出：
θ=4/3
(2)
f(x)=3x³/θ³
分布函数
F(x)=∫{-∞,x} f(t)dt = 3x^4/4θ³ = (3x/4)^4

(3)
期望：
E(X)= ∫{-∞,+∞} xf(x)dx = (3/θ³)∫{0,θ} (x^4)dx = 3θ²/5 = 16/15

而E(X²)=∫{-∞,+∞} x²f(x)dx = (3/θ³)∫{0,θ} (x^5)dx = θ³/2 = 32/27
方差：
Var(X)=E(X²)-[E(X)]² = 32/675

Answer 2

设随机变量X的概率密度为： ，已知P