Question

在等边三角形ABC所在的平面内,存在着一点P,使△PAB,△PBC,△PAC都是等腰三角形,这样的P点有几个?

Answer 1

6个(一般情况)或8个(顶角为30度或60度)

设AB=a,BC=CA=b（a<b,顶角小于60度）
分情况讨论:
1.当P分别作三个等腰三角形的顶点时（若P是两个三角形的顶点，则P自动成为第三个三角形的顶点）
过三边作垂直平分线，交于三角形外心，此点可作为P

2.当P为PAB的顶点
(1)C为PAC,PBC的顶点时
以C圆心b为半径作圆，与AB垂直平分线有两个交点，这两点可作P
(2)A,B分别为PAC,PBC的顶点时
分别以A,B为圆心，b为半径作两个圆，两圆交于两点，均位于AB垂直平分线上，但其中一点为C，不符合要求，所以满足要求的只有另一点

3.当P为PAC的顶点
(1)C为PBC顶点时
以C为圆心b为半径做圆交AC中垂线于两点
若A为PAB顶点，则ABC顶角为60度，矛盾
若B为PAB顶点，则ABC顶角为30度
所以当顶角30度，有一个点，否则无满足要求的点

(2)B为PBC顶点
以B为圆心b为半径作圆交AC中垂线于两点
则A为PAB顶点，当顶角为36度时，有一个点满足要求
否则无满足要求的点
（P为PBC顶点时作对称处理）

4.P不作顶点
(1)C作PAC,PBC顶点，B作PAB顶点
分别以B,C为圆心a,b为半径作两个圆，交于A和另一点P
P满足题意（A作PAB顶点时，利用对称即可得另一点P）

(2)B作PAB顶点，A作PAC顶点，情况与2.(1)重复

综上所述，P点可能有6个或8个
一般情况有6个，30度或60度时有8个

那就应该是8个了。

Answer 2

答案是：这样的点共有10个
具体详细图形及说明到我博客看看好了
地址http://blog.sina.com.cn/s/blog_50ec6c3c0100w3qn.html

相信你一定可以看明白

Answer 3

以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P2两点
以B为圆心，AB为半径囝弧交BC的垂直平分线于点P3
这样在AB的垂直平分线上有三点
同样在AC，BC的垂直平分线上也分别有三点
还有一点就是AB，BC，AC三条边的垂直平分线的交点
共10点，我不画图也可以了吧。

Answer 4

一个或没有
所谓△PAB,△PBC,△PAC都是等腰三角形，就是PA=PB=PC
这样的点只可能在△ABC的三条垂直平分线的交点上
有可能没有

Answer 5

是十个！每条对称轴上有四个，其中对称轴交点重复了。