Question

证明极限存在X1>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)(n=1,2...,a>0)

利用单调数列收敛准则证明，求解，谢谢

Answer 1

首先，Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)>=1/2*2√a=√a则无论X1>0的值如何（所以可假定X1>√a），Xn(n=2,3...)的值都大于或等于√a
如果X1=√a可以确定，Xn为常数列，其极限存在，且为√a。
如果X1不等于√a则Xn也不等于√a,且Xn>√a
故Xn+1-Xn=1/2(Xn+a/Xn)-Xn=1/2(a/Xn-Xn)<0
所以，Xn是单调减数列，且有下限√a，极限存在。
继而推得其极限就是√a

Answer 2

（1）x1>0,xn+1=1/2(xn+a/xn)(n=1,2...,a>0)
xn+1=1/2(xn+a/xn)=(xn^2+a)/2xn》2xn√a/2xn=√a
故xn》√a
n》2
数列有下界
又：x3-x2=1/2(x2+a/x2)-x2=(1/2)(a/x2-x2)=(a-x2^2)/(2x2)《0
x3《x2
而：xn+1-xn=1/2(xn+a/xn)-1/2(x(n-1)+a/x(n-1)
=(1/2)(xn-x(n-1))(xnx(n-1)-a)/xnx(n+1)
故xn+1-xn《0
xn单减有下界，极限存在
(2)x1=√2，xn+1=√(2xn)
x1=√2<2
xn+1=√(2xn)<√4=2
数列有上界2
又：x2=√(2x1)=√(2√2)>√2=x1
xn+1-xn=√2(√xn-√x(n-1))=√2(xn-x(n-1))/(√xn+√x(n-1))>√2(xn-x(n-1))/4，故xn+1-xn>0
xn单增有上界，极限存在