Question

什么是傅里叶级数？

什么是傅里叶级数？对于这个我不清楚，希望哪位仁兄能详细的说明一下，谢谢了

Answer 1

傅里叶级数

Fourier series

一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯 - 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。

============================================================================================================

傅里叶级数的公式
给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数：

<math>x(t)=\sum _{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{jk(\frac{2\pi})t}</math>（j为虚数单位）（1）

其中，<math>a_k</math>可以按下式计算：

<math>a_k=\frac\int_x(t)\cdot e^{-jk(\frac{2\pi})t}</math>（2）

注意到<math>f_k(t)=e^{jk(\frac{2\pi})t}</math>是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，<math>k=\pm 1</math>时具有基波频率<math>\omega_0=\frac{2\pi}</math>，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。

傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：

在任何周期内，x(t)须绝对可积；
在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；
在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。
吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。

三角函数族的正交性
所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是：

<math>\int _^{2\pi}\sin (nx)\cos (mx) \,dx=0;</math>

<math>\int _^{2\pi}\sin (mx)\sin (mx) \,dx=0;(m\ne n)</math>

<math>\int _^{2\pi}\cos (mx)\cos (mx) \,dx=0;(m\ne n)</math>

<math>\int _^{2\pi}\sin (nx)\sin (nx) \,dx=\pi;</math>

<math>\int _^{2\pi}\cos (nx)\cos (nx) \,dx=\pi;</math>

奇函数和偶函数
奇函数<math>f_o(x)</math>可以表示为正弦级数，而偶函数<math>f_e(x)</math>则可以表示成余弦级数：

<math>f_o(x) = \sum _{-\infty}^{+\infty}b_k \sin(kx);</math>

<math>f_e(x) = \frac+\sum _{-\infty}^{+\infty}a_k\cos(kx);</math> 只要注意到欧拉公式: <math>e^{j\theta}= \sin \theta+j\cos \theta</math>，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。

广义傅里叶级数
任何正交函数系<math>\{ \phi(x)\}</math>，如果定义在[a,b]上的函数f(x)只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x)满足封闭性方程：

<math>\int _^f^2(x)\,dx=\sum _{k=1}^{\infty}c^_</math> (4)，

那么级数<math>\sum _{k=1}^{\infty} c_k\phi _k(x)</math> (5) 必然收敛于f(x)，其中:

<math>c_n=\int _^f(x)\phi_n(x)\,dx</math> (6)。

事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有：

<math>\int _^f^2(x)\,dx \ge \sum _{k=1}^{\infty}c^_</math>成立，这称作贝塞尔(Bessel)不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基<math>\{e_i\}^_{i=1}</math>，向量x在<math>e_i</math>上的投影总为<math><x,e_i></math> 。

Answer 2

一． 傅里叶级数的三角函数形式
设f(t)为一非正弦周期函数，其周期为T，频率和角频率分别为f , ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件，所以可将它展开成傅里叶级数。即

其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅，不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波，A1，ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍，称为二次谐波，A2，ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波，四次谐波等。基波，三次谐波，五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波，四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外，其余各项统称为高次谐波。式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。
上式有可改写为如下形式，即

当A0，An, ψn求得后，代入式 (10-2-1)，即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。
把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析。工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种，它们的傅里叶级数展开式前人都已作出，可从各种数学书籍中直接查用。
从式（10-2-3）中看出，将n换成(-n)后即可证明有
a-n=an
b-n=-bn
A-n=An
ψ-n=-ψn
即an和An是离散变量n的偶函数，bn和ψn是n的奇函数。

二． 傅里叶级数的复指数形式
将式（10-2-2）改写为

可见 与 互为共轭复数。代入式（10-2-4）有

上式即为傅里叶级数的复指数形式。
下面对和上式的物理意义予以说明：
由式（10-2-5）得的模和辐角分别为

可见的模与幅角即分别为傅里叶级数第n次谐波的振幅An与初相角ψn，物理意义十分明确，故称为第n次谐波的复数振幅。
的求法如下：将式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有

上式即为从已知的f(t)求的公式。这样我们即得到了一对相互的变换式（10-2-8）与（10-2-7），通常用下列符号表示，即

即根据式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再将所求得的代入式（10-2-7），即将f(t)展开成了复指数形式的傅立叶级数。

在（10-2-7）中，由于离散变量n是从（-∞）取值，从而出现了负频率（-nω1）。但实际工程中负频率是无意义的，负频率的出现只具有数学意义，负频率（-nω1）一定是与正频率nω1成对存在的，它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量。即

引入傅立叶级数复指数形式的好处有二：（1）复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn；（2）为研究信号的频谱提供了途径和方便。

Answer 3

傅里叶级数
Fourier series

一种特殊的三角级数。形如
[239-1] (1)的级数，其中(=0,1,2,…)和(=1,2,…)是与无关的实数，称为三角级数。特别,当(1)中的系数，可通过某个函数()用下列公式表示时，级数(1)称为的傅里叶级数：
[239-2] (2)式中是周期2的可积函数，即[kg2][kg2]((-,)。此时，由公式(2)得到的系数，称为的傅里叶系数。的傅里叶级数记为
[239-4]。 (3)当然,的傅里叶级数并不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于()。假如已知三角级数一致收敛于()，即[239-5]，那么双方都乘以cos或sin后,在(－,)上可以逐项积分,由三角函数系的正交性,即得公式(2)。所以,如果三角级数(1)一致收敛于()，级数(1)必为的傅里叶级数。
问题往往是，给定函数,需要把它表示成三角级数(1)。J.-B.-J.傅里叶的建议是，利用公式(2),求出的傅里叶系数,,[kg2]就得到傅里叶级数(3)可以证明,只要满足一定的条件,那么的傅里叶级数[]收敛于。
傅里叶级数的收敛判别法 常用的判别法有：
① 迪尼判别法 对固定的点，如有数,使得函数()/=((+)+(-)-2)/在[-,]上勒贝格可积,则[]在点收敛于由此可知,当在点连续,并满足李普希茨条件,即[239-6](0<≤)，那么[]在收敛于()，其中 ，，均为正数,且≤1。另外，当()具有连续的导函数()时,[]一致收敛于()。
② 狄利克雷－若尔当判别法 假设函数在含有点的某区间,例如〔-,+〕上分段单调，则的傅里叶级数在点收敛于((+0)+(-0))/2。
上面提到的收敛判别法，对函数所提的要求，都是充分条件，并非必要的。关于收敛性判别法，还有几种。值得注意的是，至今还没有收敛的充分且必要的条件。
傅里叶级数的复数形式 三角级数(1)还可用指数函数来表示。事实上,[239-7]/2，[239-07]（表示的共轭复数）,[kg2]那么级数(1)可写成复数形式
[239-8], (4)这里,(4)的部分和理解为[239-9]。假如(1)是的傅里叶级数，那么它的复数形式也是(4)，但系数
[239-10]。 (5)上式表达的称为的复傅里叶系数，又称的傅里叶系数的复形式。
傅里叶系数的重要性质 列举下面两条：
① 若()[kg2][kg2](-,),则的傅里叶系数,（或），当→∞时趋于0，称为黎曼-勒贝格定理。
② 若()[kg2][kg2]((-,)，则有
[239-11]。这个等式称为帕舍伐尔等式；反之假如{}是一列双向的数列,满足条件[239-12],那么必存在惟一的函数()[kg2][kg2]((-,),它的傅里叶系数等于｛｝(=0，±1，±2,…)。这个逆命题称为里斯－费希尔定理。
三角级数与单位圆内解析函数的关系 设=e(0≤<2)是复平面单位圆周上的点，于是级数
[239-13] (6)的实部就是三角级数(1)，虚部
[239-14] (7)称为三角级数(1)的共轭级数假如(6)中的表示单位圆内的点,即=e(0≤<1),那么(6)就是复变数=e的幂级数，当它收敛时，其和函数是单位圆内的解析函数所以三角级数(1)可以看做单位圆内解析函数边界值的实部。
多元三角级数与多元傅里叶级数 设[239-15]为 维欧氏空间的点，级数
[239-16] (8)称为元三角级数，其中[239-17]，而1,2,…,为整数。假如()＝(1,2,…,)关于每个变量(1≤≤)都是周期为2的周期函数，且在立方体
Q:- ≤≤ (=1,2,…,) (9)上，是勒贝格可积的。类似于(5)，如果(8)中系数
[239-20]
[239-18]那么称(8)为的傅里叶级数，并记为
[239-19]。多元傅里叶系数也有类似于一元傅里叶系数的许多性质，但多元三角级数与多元傅里叶级数的许多问题，却远较一元复杂。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的惟一性定理,并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。
傅里叶级数在数学物理以及工程中都具有重要的应用。
参考书目
A. Zygmund, Trionometric Series， Vol. 1～2, Cambridge Univ.Press,Cambridge,1959.