Question

求教，怎么求e^(-x^2)在负无穷到正无穷上的定积分

RT

Answer 1

可以利用伽玛函数为求解积分，伽马函数为Γ(α)=∫x^(α-1)e^(-x)dx。

利用伽玛函数求e^(-x^2)的积分，则令x^2=y，dx=(1/2)y^(-1/2)dy，有∫(e^(-x^2)dx=(1/2)∫y^(-1/2)e^(-y)dy。而∫y^(-1/2)e^(-y)dy是α=1/2时，伽玛函数Γ(α)的表达式。

在负无穷到正无穷上，∫(e^(-x^2)dx=(1/2)Γ(1/2)。

扩展资料

求解积分时，利用伽玛函数，函数的1/2处的值为：

对x∈（0，1） ，有

这个公式称为余元公式。由此可以推出以下重要的概率公式：

伽玛函数（Gamma函数），也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分。可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

在实数域上伽玛函数定义为：

（2）在复数域上伽玛函数定义为：

参考资料百度百科-伽玛函数

Answer 2

e^(-x^2)在负无穷到正无穷上的广义积分= √π

利用二重积分的广义积分。

见图片。

Answer 3

这个是教材上的基本内容吧，高数或者概率都讲过。自己认真阅读就可以了。
要不就google一下“泊松积分”。
基本思路是利用轮换对称性将它化为一个二重积分，然后极坐标变换，之后就可以积出。