Question

已知函数f（x）=x+1x．（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；（2）判断f（...

已知函数f（x）=x+1x． （1）判断f（x）的奇偶性并说明理由； （2）判断f（x）在（0，1]上的单调性并加以证明．

Answer 1

解：（1）奇函数
定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称
又∵f（-x）=-x+
1
-x
=-(x+
1
x
)=-f(x)
∴函数f（x）=x+
1
x
为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数
（2）f（x）在（0，1]上的单调递减
0＜x1＜x2≤1，则0＜x1x2＜1，x1-x2＜0
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(
1
x1
-
1
x2
)
=(x1-x2)+(
x2-x1
x1x2
)=
(x1-x2)(x1x2-1)
x1x2
＞0
即f（x1）＞f（x2）
所以f（x）在（0，1]上的是单调递减函数