Question

已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F1 F2在x轴上 长轴A1A2的长为4 左准线l与x轴的焦点为M |MA1|:|A1F1|=2:1

(1)求椭圆的方程
(2)若点P为l上的的动点，角F1PF2的最大值

Answer 1

解：(1).因为|MA1|:|A1F1|=2:1
则由椭圆的第二定义，椭圆上点A1到左焦点的距离与它到左准线的距离的比是1:2
所以椭圆的离心率e=c/a=1/2
又椭圆的长轴长2a=4，则a=2
所以c/2=1/2
解得c=1,b²=a² -c² =3
又椭圆的焦点在x轴上
所以椭圆的方程为x²/4 + y²/3 =1

(2).由（1）知椭圆左焦点F1(-1,0),右焦点F2(1,0),焦距|F1F2|=2
左准线l的方程为x=-a²/c=-4
则可设l上动点P坐标是(-4,y)
有|PF1|=√[(-4+1)²+y²]=√(9+y²),|PF2|=√[(-4-1)²+y²]=√(25+y²)
当y=0时，点P在x轴上，此时∠F1PF2＝0°
当y≠0时，在△PF1F2中，由余弦定理可得：
cos∠F1PF2=(|PF1|²+|PF1|²-|F1F2|²)/(2|PF1|*|PF1|)
=[(9+y²)+(25+y²)-4]/[2*√(9+y²) *√(25+y²)]
=(15+y²)/[√(9+y²) *√(25+y²)]
令t=15+y²,(t>15)
则cos∠F1PF2=t/√[(t-6)(t+10)]
=t/√(t²+4t-60)
=1/√(1+4/t -60/t²)
=1/√{-60[1/t² -1/(15t) +(1/30)²-(1/30)²]+1}
=1/√[-60*(1/t -1/30)²+16/15]
所以当1/t=1/30即t=30也就是y=±√15时，
cos∠F1PF2有最小值15/16
即∠F1PF2的最大值为arccos(15/16)≈20.3641°