Question

高一数学题,求教

1.在数列｛An｝中，A1=2，A（n+1）=4An-3n+1
（1）证明数列（An-n）是等比数列
（2）求数列｛An｝的前n项和Sn

2.已知圆x^2+y^2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点且OP垂直OQ(O为原点坐标),求该圆的圆心坐标及半径

Answer 1

1.(1)因为A（n+1）=4An-3n+1
所以
A（n+1）-(n+1)=4An-4n=4(An-n)
又A1=2,A1-1=1≠0,
从而
{An-n}是等比数列,且公比为4.
(2) 令Bn=An-n
B1+B2+...+Bn=1*(1-4^n)/(1-4)
=(4^n-1)/3=(A1+A2+...+An)-(1+2+...+n)
即
sn=(4^n-1)/3+n(n+1)/2
2. 由题目意思有可设P(x1,y1),Q(x2,y2)
因为OP垂直OQ,所以
OP斜率与OQ斜率乘积=-1
即
y1/x1*y2/x2=-1
x1x2+y1y2=0
因为点在圆x^2+y^2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0上,所以
可求解,得
5x^2+10x+4m-27=0
x1x2=(4m-27)/5,x1+x2=-2
另外
x1+2y1-3=0 ,y1=(3-x1)/2
x2+2y2-3=0, y2=(3-x2)/2
所以
y1y2=1/4*(x1x2-3(x1+x2)+9)
=1/4*(4m-27)/5-3/4*(-2)+9/4
=m/5+12/5
从而由
x1x2+y1y2=0有
(4m-27)/5+m/5+12/5=0
5m-15=0
m=3
所以圆的方程为x^2+y^2+x-6y+3=0
标准形式为
(x+1/2)^2+(y-3)^2=25/4
从而
圆心为(-1/2,3),半径为r=5/2.

Answer 2

1（1）A（n+1）=4An-3n+1
A（n+1）-（n+1）=4An-3n+1-（n+1）=4（An-1）
[A（n+1）-（n+1）]/[（An-1）]=4，得证
（2）设Bn=An-1
B1=1，Bn=4^(n-1)
An=4^(n-1)+1
Sn=n+(1-4^n)/(1-4)=n+(4^n-1)/3
2、设P（x1，y1），Q（x2，y2）
圆x^2+y^2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0方程联立得关于y的二次方程由韦达定理得到
y1y2与x1x2的值，又OP垂直OQ，OP向量·OQ向量=0代入y1y2与x1x2
求出m，再得出圆心坐标及半径

Answer 3

1.
设数列Bn=An-n
B(n+1)= 4An-3n+1-(n+1)=4An-4n=4(An-n)=4Bn