Question

已知椭圆C：x2m+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上总存在点P，使...

已知椭圆C：x2m+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上总存在点P，使得点P在以F1F2为直径的圆上； （1）求椭圆离心率的取值范围； （2）若AB是椭圆C的任意一条不垂直x轴的弦，M为弦AB的中点，且满足KAB•KOM=-14（其中KAB、KOM分别表示直线AB、OM的斜率，O为坐标原点），求满足题意的椭圆C的方程．

Answer 1

解：（1）设点P（x，y），∵F1 （-m-1，0），F2 （m-1，0），
设椭圆的上顶点为B（0，1），
∵点P在以F1F2为直径的圆上，∠F1PF2≤∠F1BF2，只需满足
BF1•BF2≤0，
（-m-1，-1）•（m-1，-1）=-（m-1）+1=2-m≤0，m≥2，
e=m-1m∈[22，1）．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2 ），M
（x0，y0），则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0．
把A、B的坐标代入椭圆方程得 x12m +y12=1，x22m +y22=1，
并相减得：(x1+x2)(x1-x2)m=-（y1+y2）（y1-y2），
∴KAB
=y1-y2x1-x2=-x0my0，又
KOM=Y0X0，
再由
KAB•KOM
=-14，m=4，此时，椭圆的方程为x24+y2=1．