Question

初中数学题（相似）

在△ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF⊥BC，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。求证：∠GBM=90° 希望您能帮忙解答一下，谢谢！

Answer 1

设AB=a,BC=b则
因为AD⊥BC,由勾股定理得
AD
=√
(AB^2-BD^2)=√[a^2-(b/2)^2]
因为AD⊥BC,BE⊥AC,由三角形面积公式得
BE=AD*BC/AC=b/a
*√[a^2-(b/2)^2]
因为BE⊥AC,由勾股定理得
CE
=√(BC^2-BE^2)=b^2/(2a)
由AD⊥BD,BE⊥EC易知△BDH与△BEC相似,所以
HD=BD*CE/BE=b^2*
√[a^2-(b/2)^2]/{4*[a^2-(b/2)^2]}
所以
AH=AD-HD=(4*a^2-2b^2)*
√[a^2-(b/2)^2]/{4*[a^2-(b/2)^2]}
由AM=MH知
MH=AH/2=(2*a^2-b^2)*
√[a^2-(b/2)^2]/{4*[a^2-(b/2)^2]}
因为EF⊥BC,BE⊥EC,DG=EF,由三角形面积公式得
DG=EF=BE*CE/BC=b^2/(2*a^2)
*√[a^2-(b/2)^2]
所以
MD=MH+HD=2*a^2*
√[a^2-(b/2)^2]/{4*[a^2-(b/2)^2]}
所以
MD*DG=b^2/4=BD^2
(这是直角△斜边上的高的计算公式)
又因为BD⊥MG
所以△MBG是直角△
所以BG⊥BM即：∠GBM=90°
如果觉得直角△斜边高公式没学过,可以由
MD*DG=BD^2
证明△BDM与△GDB相似
所以∠MBD=∠BGD
又因为BD⊥MG
所以∠BDM=90度
所以∠MBG=∠MBD+∠GBD=∠BGD+∠GBD=180度-∠BDM=90度
所以BG⊥BM即：∠GBM=90°