等比数列的前N项和的题 求啊
晕。。题是设等比数列An的公比为q,前N项和Sn>0(n=1,2……)求q的取值范围设Bn=A(n+2)-3/2A(n+1),记Bn的前N项和为Tn,比较Sn和Tn的大小...
晕。。题是 设等比数列An 的公比为q,前N项和Sn>0(n=1,2……)
求q的取值范围
设Bn=A(n+2)-3/2A(n+1),记Bn的前N项和为Tn,比较Sn和Tn的大小 展开
求q的取值范围
设Bn=A(n+2)-3/2A(n+1),记Bn的前N项和为Tn,比较Sn和Tn的大小 展开
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a(n) = aq^(n-1),
a = a(1) = S(1) > 0,
q = 1时,S(n) = na > 0.满足要求。
q不等于1时,
S(n) = a[q^n-1]/(q-1).
q>1时,q^n-1>0,q-1>0, S(n) = a[q^n-1]/(q-1) >0. 满足要求。
-1<q<1时,q^n - 1 < 0, q - 1 < 0, 满足要求。
q = -1时,S(2m) = a[(-1)^(2m) - 1]/(-1-1) = 0,不满足要求。
q < -1时,S(2m) = a[q^(2m) - 1]/(q-1) = a[(q^2)^m - 1]/(q-1),
(q^2)^m - 1 > 0, q - 1 < 0, S(2m) < 0, 不满足要求。
因此,
q的取值范围为q>-1.
b(n) = a(n+2) - 1.5a(n+1) = aq^(n+1) - 1.5aq^n = aq^n[q-1.5].
q = 1时,b(n) = a(-0.5), T(n) = -na/2, S(n) = na > -na/2 = T(n).
q > -1且q不等于1时,T(n) = aq(q-1.5)[q^n-1]/(q-1), S(n) = a[q^n-1]/(q-1).
T(n) - S(n) = a[q^n-1]/(q-1)[q(q-1.5) - 1] = a[q^n-1][2q^2 - 3q - 2]/[2(q-1)] = a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)]
-1 < q < -1/2时,T(n) - S(n) = a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)] > 0,
T(n) > S(n).
q = -1/2时,T(n) - S(n) = a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)] = 0,
T(n) = S(n).
-1/2 < q < 1时,T(n) - S(n) = a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)] < 0,
T(n) < S(n).
1 < q < 2时,T(n) - S(n) = a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)] < 0,
T(n) < S(n).
q = 2时,T(n) - S(n) = a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)] = 0,
T(n) = S(n).
q > 2时,T(n) - S(n) = a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)] > 0,
T(n) > S(n).
综合,有
-1 < q < -1/2时,T(n) > S(n).
q = -1/2时,T(n) = S(n).
-1/2 < q < 2时,T(n) < S(n).
q = 2时,T(n) = S(n).
q > 2时,T(n) > S(n).
a = a(1) = S(1) > 0,
q = 1时,S(n) = na > 0.满足要求。
q不等于1时,
S(n) = a[q^n-1]/(q-1).
q>1时,q^n-1>0,q-1>0, S(n) = a[q^n-1]/(q-1) >0. 满足要求。
-1<q<1时,q^n - 1 < 0, q - 1 < 0, 满足要求。
q = -1时,S(2m) = a[(-1)^(2m) - 1]/(-1-1) = 0,不满足要求。
q < -1时,S(2m) = a[q^(2m) - 1]/(q-1) = a[(q^2)^m - 1]/(q-1),
(q^2)^m - 1 > 0, q - 1 < 0, S(2m) < 0, 不满足要求。
因此,
q的取值范围为q>-1.
b(n) = a(n+2) - 1.5a(n+1) = aq^(n+1) - 1.5aq^n = aq^n[q-1.5].
q = 1时,b(n) = a(-0.5), T(n) = -na/2, S(n) = na > -na/2 = T(n).
q > -1且q不等于1时,T(n) = aq(q-1.5)[q^n-1]/(q-1), S(n) = a[q^n-1]/(q-1).
T(n) - S(n) = a[q^n-1]/(q-1)[q(q-1.5) - 1] = a[q^n-1][2q^2 - 3q - 2]/[2(q-1)] = a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)]
-1 < q < -1/2时,T(n) - S(n) = a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)] > 0,
T(n) > S(n).
q = -1/2时,T(n) - S(n) = a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)] = 0,
T(n) = S(n).
-1/2 < q < 1时,T(n) - S(n) = a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)] < 0,
T(n) < S(n).
1 < q < 2时,T(n) - S(n) = a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)] < 0,
T(n) < S(n).
q = 2时,T(n) - S(n) = a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)] = 0,
T(n) = S(n).
q > 2时,T(n) - S(n) = a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)] > 0,
T(n) > S(n).
综合,有
-1 < q < -1/2时,T(n) > S(n).
q = -1/2时,T(n) = S(n).
-1/2 < q < 2时,T(n) < S(n).
q = 2时,T(n) = S(n).
q > 2时,T(n) > S(n).
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