Question

已知f(x)=|a^x-1|(a>0且a≠1)。若直线y=2a与函数f(x)的图像有两个公共点,求a的取值范围

要详细步骤

Answer 1

一个是超越函数，一个是代数函数，交点问题一般用数形结合法
y=|a^x-1|(a>0且a≠1)是指数曲线y=a^x向下平移1个单位，再把x轴下面部分翻折到上面去。图象最低点（0，0），y轴左侧渐近线y=1.
直线y=2a是平行于x轴的直线，与函数f(x)的图像有两个公共点，只要位于直线y=0和y=1之间就行了。
0<2a<1,
0<a<1/2
注：具体画图时要分0<a<1和a>1两种情况

Answer 2

1、如果a>1，则x<0时的图像在直线y=1的下方，
以y=1为渐近线向左伸展.
直线y=2a在直线y=1的上方，与x<0时的图像无交点，
与x>0时的图像只有1个交点，与题意不符。

2、如果0<a<1，则x>0时的图像在直线y=0和y=1之间，
以y=1为渐近线向右伸展.
当且仅当0<a<1/2时，直线y=2a在直线y=0和y=1之间，
与x>0时的图像有1个交点；
与x<0时的图像也有1个交点。
与图像共有2个交点，与题意相符。

结论：则a的取值范围为0<a<1/2。