Question

已知函数f(x)=x-1ex．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若函数...

已知函数f(x)=x-1ex． （1）求函数f（x）的单调区间和极值； （2）若函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4-x），求证：当x＞2，f（x）＞g（x）； （3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），求证：x1+x2＞4．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x-1ex，∴f'（x）=2-xex．（2分）
令f'（x）=0，解得x=2．
x
（-∞，2）
2
（2，+∞）
f'（x）
+
0
-
f（x）
↗
极大值1e2
↘∴f（x）在（-∞，2）内是增函数，在（2，+∞）内是减函数．（3分）
∴当x=2时，f（x）取得极大值f（2）=1e2．（4分）
（2）证明：g(x)=f(4-x)=3-xe4-x，令F(x)=f(x)-g(x)=x-1ex-3-xe4-x，
∴F'（x）=2-xex-2-xe4-x=(2-x)(e4-e2x)ex+4．（6分）
当x＞2时，2-x＜0，2x＞4，从而e4-e2x＜0，
∴F'（x）＞0，F（x）在（2，+∞）是增函数．
∴F(x)＞F(2)=1e2-1e2=0，故当x＞2时，f(x)＞g(x)成立．（8分）
（3）证明：∵f（x）在（-∞，2）内是增函数，在（2，+∞）内是减函数．
∴当x1≠x2，且f（x1）=f（x2），x1、x2不可能在同一单调区间内．
不妨设x1＜2＜x2，由（2）可知f（x2）＞g（x2），
又g（x2）=f（4-x2），∴f（x2）＞f（4-x2）．
∵f（x1）=f（x2），∴f（x1）＞f（4-x2）．
∵x2＞2，4-x2＜2，x1＜2，且f（x）在区间（-∞，2）内为增函数，
∴x1＞4-x2，即x1+x2＞4．（12分）