Question

f(x+y)=f(x)+f(y)需要什么样的条件

Answer 1

首先当x=y=0时：
f(0)=0
其次：当y=-x时
0=f(x)+f(-x)
这明显是奇函数
因此：
若要满足上式的一个必要条件是：f(x)必须是奇函数，且在x=0处有定义

Answer 2

这是线性函数y=kx的函数定义方法。
y=x--> f(2x)=2f(x)
进而有：f(nx)=nf(x)--> f(n)=nf(1)=kn, k=f(1)，n为整数
为分数时：x=m/n, f(m)=nf(m/n)---> f(m/n)=f(m)/n=km/n,
根据实数的连续性，进而有：f(x)=kx.

Answer 3

是正比例函数
y=x--> f(2x)=2f(x)
根据数学归纳法进而有：f(nx)=nf(x)--> f(n)=nf(1)=kn, 【 k=f(1)，n为整数】
为分数时：x=m/n, f(m)=nf(m/n)---> f(m/n)=f(m)/n=km/n,
根据实数的连续性，进而有：f(x)=kx.