Question

已知定义域为R的函数f(x)=-2^x+b/2^x-1+2是奇函数.(1)求b的值(2)判断f(x)的单调性(3)若对于任意的t∈R,

已知定义域为R的函数f(x)=-2^x+b/2^x-1+2是奇函数.(1)求b的值(2)判断f(x)的单调性(3)若对于任意的t∈R,不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0恒成立,求k的取值范围

Answer 1

(1) f(x)=(-2^x+b)/(2^x-1)+2
f(-x)=(-2^(-x)+b)/(2^(-x)-1)+2……分子分母同乘以2^x
=(-1+b*2^x)/(1-2^x) +2
函数是奇函数.所以f(-x)= -f(x)，
即(-1+b*2^x)/(1-2^x) +2=-(-2^x+b)/(2^x-1)-2，
[(b+1)*2^x-(b+1)]/(2^x-1)=4,
(b+1)*2^x-(b+1)=4*2^x-4,
b+1=4,b=3.

(2)所以 f(x)=(-2^x+3)/(2^x-1)+2……通分得下式
= (2^x +1 )/(2^x – 1)
= (2^x -1+2 )/(2^x – 1)
= 1 + 2/(2^x - 1)
设 x1 < x2
则 f(x2) - f(x1) = 1/(2^x2 - 1) - 1/(2^x1 - 1)
= (2^x1 - 2^x2)/[(2^x2 - 1)(2^x1 - 1)] < 0
所以 f(x2) < f(x1)
所以 f(x)是减函数

(3)f(t²-2t)+f(2 t²-k)<0
f(t²-2t) < -f(2 t²-k)……利用奇函数定义可得下式
f(t²-2t) < f(k-2 t²)……利用单调递减可得下式
所以t²-2t> k-2 t²
K<3t²-2t
3t²-2t=3(t-1/3) ²-1/3≥-1/3
所以恒成立时，只需k小于函数3t²-2t的最小值即可。
∴K<-1/3.

追问

b=1吧？

追答

你的函数写的不太明白，如果是这样的话：
f(x)=(-2^x+b)/[(2^x-1)+2]
可以这样解：
对R上的奇函数来说，f(0)=0,即-1+b=0,b=1.