Question

一道高数问题

Answer 1

考虑到积分区间对称，先分项：（看能否分成奇函数或偶函数）
=∫(-1,1) 2x²dx/[1+√(1-x²)]+∫(-1,1) xcosxdx/[1+√(1-x²)]
考察函数f(x)=xcosx/[1+√(1-x²)]，则
f(-x)=f(x)
∴f(x)为奇函数
∴∫(-1,1) xcosxdx/[1+√(1-x²)]=0
同理，g(x)=2x²/[1+√(1-x²)]=2x²[1-√(1-x²)]/[1-√(1-x²)][1+√(1-x²)]=2[1-√(1-x²)]（分母有理化）
∴g(-x)=g(x),g(x)为偶函数
原积分=2∫(0,1) g(x)dx
=4∫(0,1) [1-√(1-x²)]dx
令x=sint,t∈[-π/2,π/2]（三角代换）,则dx=costdt
原积分=4∫(0,π/2) (1-cost)costdt
=4∫(0,π/2) [cost-(1+cos2t)/2]dt
=4[sint-t/2-sin2t/4]|(0,π/2)
=4-π
希望我的解答对你有所帮助 O(∩_∩)O
别忘了及时采纳哦！

Answer 2

支持下楼上，太猛了，全手打