Question

已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1•a2=2，a3•a4=32．（Ⅰ）...

已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1•a2=2，a3•a4=32． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列{bn}的前n项为Sn=n2（n∈N*），求数列{an•bn}的前n项和．

Answer 1

解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，
∵a1•a2=2，a3•a4=32，
∴a12q=2a12q5=32，
由a1＞0，q＞0，解得a1=1，q=2，
∴an=2n-1．
（Ⅱ）由Sn=n2，得Sn-1=（n-1）2，
∴当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=2n-1，
∴当n=1时，b1=1符合上式，
∴bn=2n-1，n∈N*．
∴an•bn=（2n-1）•2n-1，
Tn=1+3•2+5•22+…+（2n-1）•2n-1，
2Tn=1•2+3•22+5•23+…+（2n-3）•2n-1+（2n-1）•2n，
两式相减，得-Tn=1+2（2+22+…+2n-1）-（2n-1）•2n
=-（2n-3）•2n-3，
∴Tn=(2n-3)•2n+3．