Question

已知函数f(x)=(2x+3)/(3x)(x>0),数列{an}满足a1=1,an=f(1/an-1)(n∈N*,且n》2。

1.求an的通项公式。2.求Sn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+......+anan+1

Answer 1

(1)根据f(x)=(2x+3)/(3x)
可把an=f(1/a(n-1))化为an=a(n-1)+2/3
所以an是以2/3为公差的等差数列
又a1=1所以解得an=2n/3+1/3

(2)a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+......+anan+1可化为
a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+a6(a5-a7)+....+a(n-1)(a(n-2)+an)+ana(n+1)
=-4/3(a2+a4+a6+....+a(n-1))+(2n+1)(2n-3)/9
因为a2+a4+a6+....+a(n-1)是等差数列的和，根据求和公式解得
a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+......+ana(n+1)=n(n+2)/3
综上所述
Sn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+......+anan+1=2n(4n/3+2)/3

不懂再问，希望采纳
方法绝对正确，你最好在验算下

Answer 2

f(x)=(2x+3)/3x化简：=2/3+1/x
所以an+1=f(1/an)=2/3+an，为d=2/3的等差数列。
所以an=1+2(n-1)/3.
这是第一问。
第二问：
Tn=a1a2-a2a3+a3a4-···+（-1）n-1 ana(n+1)
=1*5/3-5/3*7/3+……+(-1)^(n-1)*(1+2n)/3*(3+2n)/3
=1/9*(3*5-5*7+……+(-1)^(n-1)*(1+2n)*(3+2n))
当n为偶数时，Tn<0。这是因为把括号里按顺序每两项划为一组，则每一组都是负的，总和也是负的。
当n位奇数时，Tn>0.把括号里第一项3*5拿掉不看，剩下的每两项划为一组，则每一组都是正的，总和也是正的。再加上3*5还是正的。
题目说Tn≥tn²，则t一定是负的，并且只要考虑n为偶数就行了（因为n为奇数恒成立）。
设n=2m，（n为偶数）
Tn
=1/9*(3*5-5*7+7*9-9*11+……-(1+4m)*(3+4m))
每两个为一组，
=-1/9*(5*4+9*4+……+(1+4m)*4)
按等差数列求和，
=-4/9*(5+1+4m)*m/2
=-4/9*(3+2m)*m
=(-8/9)m^2-(4/3)m
由于n=2m带入：
Tn=-(2/9)n^2-(2/3)n
由于要Tn≥tn²，带进去：
-(2/9)n^2-(2/3)n>=tn^2对任何n>=1都成立，
即-(2/9)n^2-(2/3)n<tn^2没有n>=1的解。
得出t<=-8/9