Question

设函数f(x)=mx-m/x,g(x)=2lnx,

(1)当m=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程
（2）当m=1，证明方程f（x）=g(x)有且仅有一个实数根
（3）若x∈(1,e],不等式f（x）-g(x)＜2恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

(1)m=2, f(x)=2x-2/x, f'(x)=2+2/x^2, 在点（1,0）处的切线斜率为f'(1)=2+2/1^2=4,在(1,0),切线方程为y=4(x-1)
(2)m=1, 方程变为 x-1/x=2lnx， 整理得 2xlnx-x^2+1=0， 令k(x)=2xlnx-x^2+1,，k'(x)=2lnx-2x+2, 解方程k'(x)=0，得x=1, 所以k(x)=在x=1处取到最小值k(x)=0，所以只有一个跟x=1使方程f（x）=g(x)成立

追问

第三问呢。。。。

Answer 2

（1）m=2,f(x)=2x-2/x,曲线导函数为f'(x)=2+2/x^2,在（1，f(1)）处切线斜率为f'(1)=2+2/1^2=4,在(1,0),切线方程为y=4(x-1)
（2）m=1,x-1/x=2lnx ,y=x-1/x-2lnx,y'=(x^2-2x+1)/x^2=(x-1)^2/x^2,得x=1,x不等于0,根据单调性分析y的函数区间单调性，只有在x=1处，与y=0有交点
(3)

追问

第三问呢。。。

Answer 3

解：（1）m=2时，f(x)=2x-2x，f′(x)=2+2x2，f′(1)=4，
切点坐标为（1，0），
∴切线方程为y=4x-4…（2分）
（2）m=1时，令h(x)=f(x)-g(x)=x-1x-2lnx，
h′(x)=1+1x2-2x=(x-1)2x2≥0，
∴h（x）在（0，+∞）上为增函数．…（4分）
又h(e)•h(1e)=-(1e-e+2)2＜0，
∴y=h（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点
∴在（0，+∞）内f（x）=g（x）有且仅有一个实数根 …（6分）
（或说明h（1）=0也可以）
（3）mx-mx-2lnx＜2恒成立，即m（x2-1）＜2x+2xlnx恒成立，
又x2-1＞0，则当x∈（1，e]时，m＜2x+2xlnxx2-1恒成立，
令G(x)=2x+2xlnxx2-1，只需m小于G（x）的最小值，
G′(x)=-2(x2lnx+lnx+2)(x2-1)2，
∵1＜x≤e，∴lnx＞0，∴当x∈（1，e]时G'（x）＜0，
∴G（x）在（1，e]上单调递减，
∴G（x）在（1，e]的最小值为G(e)=4ee2-1，
则m的取值范围是(-∞，4ee2-1)． …（12分）

Answer 4

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