Question

如图,在rt△abc中,角bac=90度ab=ac

如图,在Rt三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,D为BC的中点,E为AC上一点,点G在BE
上,连结DG并延长交AE于F,若角FGE=45度.（1)求证：BD·BC=BG·BE （2)求证:AG垂直BE (3)若E为AC的中点,求EF:FD的值.

Answer 1

证明：（1）∵∠BAC=90°,AB=AC
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠BGD=∠FGE=45°
∴∠C=∠BGD
∵∠GBC=∠GBC
∴△GBD∽△CBE
∴ BD/BE=BG/BC
即BD•BC=BG•BE；
（2）∵BD•BC=BG•BE,∠C=45°,
∴BG= BD•BC/BE= 12BC•BC/BE= 1/2(√2AB)²/BE= AB²/BE,
∴ AB/BG= BE/AB,∠ABG=∠EBA
∴△ABG∽△EBA
∴∠BGA=∠BAE=90°
∴AG⊥BE；
（3）∵EF：AF=EG：AG=AE²：（EB•AG）= 1/2,EF= 1/3AE,DE= 1/2AB,DF= 10/3AE
∴EF：FD=1：√10．