Question

帮个帮吧~初中数学题！

一个整系数三次多项式f(x)，有三个不同的整数a1 a2 a3,使f(a1)=f(a2)=f(a3)=1,又设b不同于a1 a2 a3的任意整数，证明：f(b)不等于1

Answer 1

a1,a2,a3是f(x)-1=0的三个根
所以f(x)-1=a*(x-a1)*(x-a2)*(x-a3)
且a=0
所以f(x)=a*(x-a1)*(x-a2)*(x-a3)+1
f(b)=a*(b-a1)*(b-a2)*(b-a3)+1
a*(b-a1)*(b-a2)*(b-a3)!=0
所以f(b)=0
得证

追问

我们还没学阶乘。。。这道题是综合除法和余数定理那章上的

追答

还没学还没学阶乘啊！
a2,a3是f(x)-1=0的三个根
所以f(x)-1=a*(x-a1)*(x-a2)*(x-a3)
则一定有a≠0
所以f(x)=a*(x-a1)*(x-a2)*(x-a3)+1
f(b)=a*(b-a1)*(b-a2)*(b-a3)+1
因为a≠0，b不同于a1 a2 a3的任意整数
所以a*(b-a1)*(b-a2)*(b-a3)≠0
所以f(b)≠1
得证

Answer 2

证明：设g(x)=f(x)-1由已知条件可知
f(a1)=f(a2)=f(a3)=1 所以g(a1)=g(a2)=g(a3)=0
g（x）也是一个整系数三次多项式
所以g(x)一定能写成这种形式=a(x-a1)(x-a2)(x-a3) 其中a是某整数
因为b不等于a1 a2 a3 所以a(x-a1)(x-a2)(x-a3)不等于0
即g(b)不等于0 即f(b)不等于1

Answer 3

某学校组织340名师生进行旅游，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共10辆。据了解，甲每辆最多能载40个人和16件行李，乙车每辆最多能载30个人和20件行李。
{1}请你帮忙设计所行租车方案
{2}如果甲车的租金为每辆2000元，乙车租金为每辆1800元，问那种可行方案最省钱