Question

已知函数f（x）=x3-ax2+4．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））...

已知函数f（x）=x3-ax2+4． （1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=x+1垂直，求实数a的值； （2）在区间[1，3]内至少存在一个实数x，使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x3-ax2+4，
∴f′（x）=3x2-2ax，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=x+1垂直，
∴f′（1）=3-2a=-1，
解得a=2．
（2）由已知得：a＞
x3+4
x2
=x+
4
x2
，
设g（x）=x+
4
x2
，（1≤x≤3），
g′（x）=1-
8
x3
，
∵1≤x≤3，
∴x∈[1，2）时，g′（x）＜0，
x∈（2，3]时，g′（x）＞0，
∴g（x）min=g（2）=3，
∴a＞3．